Complete analytical solutions for guided waves along a parabolic symmetrical ridge
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摘要: 越洋海啸能够被大洋海脊引导并沿海脊传播至远场地区,虽然传播速度较慢,但携带较大的能量,会对远场地区造成灾害影响,相关研究对于提高海啸传播特性本质的认识具有重要意义。本文基于线性长波方程,推导出了抛物型对称海脊引导波完整解析理论。研究表明对称型海脊同时存在对称与反对称引导波,其自由水面波动可以表示为虚宗量Bessel函数形式。利用海脊中心对称条件给出了描述其频率与波数的频散关系。基于所提理论进一步分析讨论了引导波的运动特性,包括频散关系、波速度、能量传播速度与波面空间分布等。本研究为揭示地形坡度由脊顶至两侧逐渐增加的海脊引导波运动特征,预测实际越洋海啸中最具威胁性海啸波的到达时间提供了理论依据。Abstract: Transoceanic tsunamis can be guided by oceanic ridges and transferred large energy with slower velocity, hitting far-field regions and causing disaster effects. Therefore, the study on guided waves is crucial to improve the understanding of tsunami propagation characteristics. Based on the linear shallow water equation, the complete analytical solutions for guided waves over a parabolic symmetric ridge are derived. It is shown that both symmetric and anti-symmetric guided waves can exist along symmetric ridges and the free surface is described using the modified Bessel functions. Dispersion relationships, determining the relationship between the wave frequency and the wavenumber, are obtained from the continuity of water surface and velocity at the top of the ridge. The kinematic characteristics of guided waves, such as phase velocity, group velocity and surface spatial distribution are further revealed. This paper theoretically elaborates the guided waves over the ridge with its topographic slope generally increasing from the top to the bottom and provides the formulas to predicate the arrival time of the most threatening waves for the actual transoceanic tsunamis.
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Key words:
- tsunamis /
- oceanic guided waves /
- trapped waves /
- analytical solutions /
- linear shallow water equations
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1. 引言
海啸通常由海底地震、火山爆发、海底滑坡等产生,在深海波幅较小但传播速度快,当传播至近岸时由于地形变浅波高迅速增大,特别是在半封闭海湾及港口还可能引起共振现象,出现水面大幅持续波动,对沿海地区造成灾害影响[1]。如2018年阿纳克·克卡托(Anak Krakatau)火山横向崩塌引发海啸,造成437人死亡,14 059人受伤[2],2020年萨摩斯(Samos)地震引发本世纪地中海东部最大的海啸,造成114人死亡,1 030人受伤[3],2022年汤加(Tonga)火山喷发引发海啸造成约1.25亿澳元损失[4]。频发的海啸灾害及其造成的巨大损失引起了学者对海啸产生机制与传播特性的研究热潮。
海啸致灾的主要因素包括海啸源、海啸传播路径以及近岸浅水效应[5]。对于传播距离超过1 000 km或传播时间超过3 h的越洋海啸而言,其在近场海域的破坏主要取决于海啸源的强度和方向,而在远场区域的能量分布则与海脊、海沟、岛屿等海底地形密切相关。海啸波极易在折射和反射作用影响下被限制在海脊等水下隆起地形附近,形成海脊引导波,将海啸能传播至远场区域。如1996年伊里安查亚(Irian Jaya)地震海啸,不仅摧毁了比亚克岛(Biak Island)北部海岸75%以上的建筑物,由于南本州(South-Honshu)海脊的引导作用,3 000 km以外的日本也遭受1 m高的海啸大波袭击[6]。2015年智利伊亚佩尔(Illapel)地震海啸,不仅对智利沿岸造成重大破坏,而且对复活节岛(Easter Island)、日本、大洋洲等远场产生威胁,最大波高达2 m左右[7-8]。2022年汤加火山喷发引发海啸,不仅对汤加造成巨大的经济损失,甚至距离上万千米以外的日本、智利、美国西部沿岸测站也分别监测到最大波高为1.8 m、3.3 m、2.6 m的海啸波[9]。
越洋海啸通常由两部分性质完全不同的波浪成分组成:一部分为由震源直接传播而至的先导波,速度快但能量较小;另一部分则为由海底山脊引导而至的波列,速度慢、路径曲折但能量较大。对当地造成灾难性影响的海啸波通常都是由海底地形引导而至的波浪。如2004年印尼海啸,不仅洗劫了震中附近的东南亚和南亚地区,西南印度洋海岭(Southwest India Ridge)和大西洋中脊(Mid-Atlantic Ridge)还将此次海啸引导至大西洋,而东南印度洋海岭(Southeast India Ridge),太平洋–大西洋海脊(Pacific-Atlantic Ridge)和东太平洋海隆(East Pacific Rise)将海啸引导至太平洋,且各远场地区最大波高抵达时间晚于先导波5~24 h不等[10]。2006年千岛(Kuril)海啸受科科平顶海山(Koko Guyot)和赫斯(Hess)海隆的引导作用,最大波晚于先导波2 h抵达美国新月城(Crescent City)[11]。2011年日本海啸的传播同样证实海底山脊是海啸的天然导管和能量聚集器,经大洋中脊的引导,甚至影响至南极[12]。Gusiakov[13]明确指出影响海啸越洋传播的不仅是激发其产生的地震或火山强度,还应考虑海底山脊对其传播的影响,即导波效应。
海脊引导波的研究最早可以追溯到1953年,Jones[14]首先证实了顶部淹没的任意对称海脊上均能产生引导波。Longuet-Higgins[15]推导了台阶型对称海脊引导波解析解。随后Buchwald[16]进一步将其扩展至两侧水深不等的台阶型海脊上。许洋等[17]通过物理模型试验证实了台阶型海脊引导波解析理论。考虑到实际海脊多为连续缓坡地形,Shaw和Neu[18]基于Kummer函数给出了三角型海脊上引导波的解析解。万鹏等[19]基于射线理论研究了指数型海脊上波浪轨迹的理论解。于洪荃等[20]利用MIKE21-BW模型分析了指数型弯曲海脊上引导波的运动规律。Wang等[21-22]提出了双曲余弦型海脊上奇偶模式引导波的完整解析理论。
除前文中提及的三角型、指数型及双曲余弦型,抛物型被认为是更适用于描述实际海脊剖面的函数曲线[23]。Zheng等[24]推导了抛物型对称海脊引导波解析理论,然而仅考虑了对称引导波,忽略了反对称的情形。考虑到对称海脊同时存在对称与反对称引导波,本文详细给出抛物型对称海脊上引导波的完整理论,并讨论其运动特性。为准确预测远场海啸最大波到达时刻提供理论依据。本研究为阐明越洋海啸除先导波外由海底地形引导而至后续较大波列产生原因,预测其在近岸出现的时间,进而为海啸预警预报和风险评估提供理论支持。
2. 理论推导
实际海脊多为由脊顶向两侧延伸的缓变地形,本文采用抛物型函数表示海脊横向剖面。如图1所示,沿海脊横向为x轴,海脊中心线为y轴,z轴由静止水面向上为正。考虑海脊地形对称分布的情况,此时水深函数可以表示为
$$ h\left( x \right) = \left\{ \begin{split} &s{\left( { - x + b} \right)^2}& x < 0 \text{,}\\ &s{\left( {x + b} \right)^2}& x \geqslant 0 \text{,} \end{split} \right. $$ (1) 式中,s和b是描述海脊形状的参数。
通常,水深与海啸波长之比为一小量,故采用线性长波理论来描述海脊引导波的运动。对应的连续方程为
$$ \frac{{\partial \eta }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {uh} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {vh} \right)}}{{\partial y}} = 0 \text{,} $$ (2) 相应的动量方程为
$$ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = - g\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}} \text{,} $$ (3) $$ \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = - g\frac{{\partial \eta }}{{\partial y}} \text{,} $$ (4) 式中,η为自由水面;t为时间;h为水深;u和v分别为x、y方向的速度分量。将式(3)和式(4)代入式(2)中消去u和v,得:
$$ \frac{{{\partial ^{\text{2}}}\eta }}{{\partial {t^{\text{2}}}}} - g\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {h\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {h\frac{{\partial \eta }}{{\partial y}}} \right)} \right] = 0 . $$ (5) 由于海脊引导波沿海脊即y方向传播,则其自由水面η可以表示为
$$ \eta \left( {x,y,t} \right) = \zeta \left( x \right)\exp \left[ {{{\rm{i}}} \left( {{k_y}y - \omega t} \right)} \right] \text{,} $$ (6) 式中,ω为引导波的角频率;ky为沿y方向的波数分量;i为虚数单位。将式(6)代入式(5)并考虑海脊剖面形状(1),则有:
$$ {\left( {x - b} \right)^2}\frac{{{{{\rm{d}}} ^2}{\zeta _l}}}{{{{\rm{d}}} {x^2}}} + 2\left( {x - b} \right)\frac{{{{\rm{d}}} {\zeta _l}}}{{{{\rm{d}}} x}} + \left[ {\frac{{{\omega ^2}}}{{gs}} - {k_y}^2{{\left( {x - b} \right)}^2}} \right]{\zeta _l} = 0\quad x < 0 \text{,} $$ (7) 和
$$ {\left( {x + b} \right)^2}\frac{{{{{\rm{d}}} ^2}{\zeta _r}}}{{{{\rm{d}}} {x^2}}} + 2 \left( {x + b} \right)\frac{{{{\rm{d}}} {\zeta _r}}}{{{{\rm{d}}} x}} + \left[ {\frac{{{\omega ^2}}}{{gs}} - {k_y}^2{{\left( {x + b} \right)}^2}} \right]{\zeta _r} = 0\quad x \geqslant 0 \text{,} $$ (8) 式中,
${\zeta _l} $ 、${\zeta _r} $ 分别表示海脊左侧(x < 0)和右侧(x ≥ 0)的解。对于左侧海脊,进一步引入数学变换:
$$ {\tau _l} = {k_y}\left( { - x + b} \right)\text{,} $$ (9) $$ {\zeta _l} = \sqrt {\text{π} /2} {\tau _l}^{ - \frac{1}{2}}\xi\text{,} $$ (10) 则式(7)可以表示为v阶变型Bessel方程[25]:
$$ {\tau _l}^2\frac{{{{{\rm{d}}} ^2}\xi }}{{{{\rm{d}}} {\tau _l}^2}} + {\tau _l}\frac{{{{\rm{d}}} \xi }}{{{{\rm{d}}} {\tau _l}}} - \left( {{\tau _l}^2 + {v^2}} \right)\xi = 0 \text{,} $$ (11) 其中,
$$ v = \frac{1}{2}\sqrt {1 - \frac{{4{\omega ^2}}}{{gs}}} \text{,} $$ (12) 方程(11)对应的通解为
$$ {\zeta _l} = A \cdot {\tau _l}^{-\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \cdot {{{\rm{I}}} _v}\left( {{\tau _l}} \right) + B \cdot {\tau _l}^{-\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \cdot {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _l}} \right) \text{,} $$ (13) 式中,A和B为待定系数;Iv(τ)和Kv(τ)分别为第一类变型Bessel函数和第二类变型Bessel函数:
$${{{\rm{I}}} _v}\left( \tau \right){\text{ = }}{{{\rm{i}}} ^{ - v}}{{{\rm{J}}} _v}({{\rm{i}}} \tau ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{k!\Gamma \left( {v + k + 1} \right)}}} {\left( {\frac{\tau }{2}} \right)^{v + 2k}} \text{,} $$ (14) $${{{\rm{K}}} _v}\left( \tau \right){\text{ = }}\frac{\text{π} }{2} \cdot \frac{{{{{\rm{I}}} _ - }_v\left( \tau \right) - {{{\rm{I}}} _v}\left( \tau \right)}}{{\sin v \text{π} }}\text{,} $$ (15) 式中,Jv为第一类Bessel函数;Г为伽马函数:
$$ \Gamma \left( \tau \right) = \int_0^\infty {\exp ( - t){t^{\tau - 1}}{{\rm{d}}} t} . $$ (16) 假定海脊引导波主要集中于海脊附近,则远离海脊中心的幅趋应近于0,有:
$$ {\zeta _l}\left| {_{\left| x \right| \to \infty }} \right. = 0 , $$ (17) 此时Iv(τ)和Kv(τ)有渐近关系:
$$ \left\{ \begin{gathered} {\left. {{{{\rm{I}}} _v}\left( \tau \right)} \right|_{\tau \to \infty }} \approx \frac{{{{\rm{e}}^\tau }}}{{\sqrt {2\text{π} \tau } }}\left[ {1 - O\left( {{\tau ^{ - 1}}} \right)} \right], \\ {\left. {{{{\rm{K}}} _v}\left( \tau \right)} \right|_{\tau \to \infty }} \approx \sqrt {\frac{\text{π} }{{2\tau }}} {{\rm{e}}^{ - \tau }}\left[ {1 + O\left( {{\tau ^{ - 1}}} \right)} \right] , \\ \end{gathered} \right. $$ (18) 式中,第二类变型Bessel函数Kv(τ)趋近于0,而第一类变型Bessel函数Iv(τ)趋近于∞,固令系数A=0。因此左侧海脊上引导波最终表示为
$$ {\zeta _l} = B \cdot {\tau _l}^{-\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \cdot {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _l}} \right) . $$ (19) 右侧海脊与左侧区域的求解过程类似,式(8)同样可以简化为v阶变型Bessel方程:
$$ {\tau _r}^2\frac{{{{{\rm{d}}} ^2}\xi }}{{{{\rm{d}}} {\tau _r}^2}} + {\tau _r}\frac{{{{\rm{d}}} \xi }}{{{{\rm{d}}} {\tau _r}}} - \left( {{\tau _r}^2 + {v^2}} \right)\xi = 0 \text{,} $$ (20) 其中
$$ {\tau _r} = {k_y}\left( {x + b} \right) \text{,} $$ (21) $$ {\zeta _r} = \sqrt {\text{π} /2} {\tau _r}^{ - \frac{1}{2}}\xi \text{,} $$ (22) 方程(20)的通解可以表示为
$$ {\zeta _r} = C \cdot {\tau _r}^{{ - }\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \cdot {{{\rm{I}}} _v}\left( {{\tau _r}} \right) + D \cdot {\tau _l}^{{ - }\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \cdot {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _r}} \right) \text{,} $$ (23) 式中,C和D为待定系数。
同样由于海脊引导波限于海脊附近,令C=0,舍弃Iv(τ)项,则右侧海脊上引导波最终表示为
$$ {\zeta _r} = D \cdot {\tau _r}^{{ - }\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \cdot {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _r}} \right) . $$ (24) 由于引导波在海脊顶部应满足连续条件,故有:
$$ \begin{split} & {\zeta _l}\left| {_{x = {0^ - }}} \right. = {\zeta _r}\left| {_{x = {0^ + }}} \right. \\ & \frac{{\partial {\zeta _l}}}{{\partial x}}\left| {_{x = {0^ - }}} \right. = \frac{{\partial {\zeta _r}}}{{\partial x}}\left| {_{x = {0^ + }}} \right. \text{,} \end{split} $$ (25) 因此系数B与D的值应相等。此外,对于对称海脊上的引导波,不仅存在偶对称模式,还存在奇对称模式[18]。
(1)偶对称模式
此时海脊上自由水面运动关于海脊中线对称,要求ζ是x的偶函数,即脊顶处波面导数为0:
$$ \frac{{{{\rm{d}}} {\zeta _l}}}{{{{\rm{d}}} x}}\left| \begin{gathered} \\ _{x = {0^ - }} \\ \end{gathered} \right. = \frac{{{{\rm{d}}} {\zeta _r}}}{{{{\rm{d}}} x}}\left| \begin{gathered} \\ _{x = {0^ + }} \\ \end{gathered} \right. = 0 \text{,} $$ (26) 将海脊引导波左右侧区域的表达式(19)和(24)带入式(26),得:
$$ {\tau _0}{{{\rm{K}}} _{v - 1}}\left( {{\tau _0}} \right) + {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right) + {\tau _0}{{{\rm{K}}} _{v + 1}}\left( {{\tau _0}} \right) = 0 \text{,} $$ (27) 式中,τ0 = kyb。
在给定海脊地形参数s、b的情况下,上式确定了ω与ky之间的关系,即为偶对称模式的频散关系。每个确定的ω对应无数个ky,最大值ky对应称为0阶模态,第二大值ky对应称为1阶模态……,以此类推。进一步由式(27)得海脊引导波的能量传播速度为
$$ {c_g} = \frac{{{{\rm{d}}} \omega }}{{{{\rm{d}}} {k_y}}} = \frac{{ - gsv\left\{ {\left( {2 + 2{\tau _0}^2} \right){{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right) + {\tau _0}^2\Big[ {{{{\rm{K}}} _{v - 2}}\left( {{\tau _0}} \right) + {{{\rm{K}}} _{v + 2}}\left( {{\tau _0}} \right)} \Big] + {\tau _0}\Big[ {{{{\rm{K}}} _{v - 1}}\left( {{\tau _0}} \right) + {{{\rm{K}}} _{v + 1}}\left( {{\tau _0}} \right)} \Big]} \right\}}}{{2{k_y}\omega \Big[ {{\tau _0}{{{\rm{K}}} _{v - 1}}^{\left( {1,0} \right)}\left( {{\tau _0}} \right) + {{{\rm{K}}} _v}^{\left( {1,0} \right)}\left( {{\tau _0}} \right) + {\tau _0}{{{\rm{K}}} _{v + 1}}^{\left( {1,0} \right)}\left( {{\tau _0}} \right)} \Big]}} = c \cdot n \text{,} $$ (28) 式中,n表示能量传播速度因子;Kv(1,0)(τ)表示对函数Kv(τ)的阶数v求偏导,即:
$$ \begin{split}{{{\rm{K}}} _v}^{\left( {1,0} \right)}\left( {{\tau _0}} \right) =& \frac{{\partial {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right)}}{{\partial v}} = \frac{1}{2}\text{π} \csc \left( {v\text{π} } \right)\left( {\frac{{\partial {{{\rm{I}}} _{ - v}}\left( {{\tau _0}} \right)}}{{\partial v}} - \frac{{\partial {{{\rm{I}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right)}}{{\partial v}}} \right) -\\ &\text{π} \cot \left( {v\text{π} } \right){{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right) \text{,}\\[-10pt]\end{split} $$ (29) 式中
$$ \dfrac{{\partial {{{\rm{I}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right)}}{{\partial v}} = {{{\rm{I}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right)\ln \left( {\dfrac{1}{2}{\tau _0}} \right) - {\left( {\dfrac{1}{2}{\tau _0}} \right)^v}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\dfrac{{\Psi \left( {v + k + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {v + k + 1} \right)}}} \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{4}{\tau _0}^2} \right)}^k}}}{{k!}} \text{.} $$ (30) 由于偶对称引导波沿海脊两侧完全对称,通常对应产生于脊顶处的海啸在海脊形成的引导波。
(2)奇对称模式
此时海脊上自由水面运动关于海脊中线反对称,要求ζ是x的奇函数,即脊顶处波面恒为0:
$$ {\zeta _l}\left| {_{x = {0^ - }}} \right. = {\zeta _r}\left| {_{x = {0^ + }}} \right. = 0 \text{,} $$ (31) 得:
$$ {{{\rm{K}}} _v}\left( {{\tau _0}} \right) = 0 \text{,} $$ (32) 式(32)即为奇对称模式对应的频散关系。奇对称模式下不存在0模态,按ky值降序排列分别定义为1阶模态,2阶模态……。进一步得到奇对称模式的海脊俘获波的能量传播速度为
$$ {c_g} = \frac{{{{\rm{d}}} \omega }}{{{{\rm{d}}} {k_y}}} = \frac{{ - bgsv\Big[ {{{{\rm{K}}} _{v - 1}}\left( {{\tau _0}} \right) + {{{\rm{K}}} _{v + 1}}\left( {{\tau _0}} \right)} \Big]}}{{2\omega {{{\rm{K}}} _v}^{(1,0)}\left( {{\tau _0}} \right)}} = c \cdot n \text{,} $$ (33) 由于实际海啸通常产生于海脊之外,海啸波在海脊上的运动必不对称,主要以奇对称形式的引导波沿海脊运动。
3. 结果分析
本节将基于以上推导解析理论详细讨论海脊形状等参数对海脊引导波的频散关系、相位速度、能量速度及空间分布的影响,明确其传播演化特征。
3.1 频散关系
根据式(27)和式(32)可知,给定海脊形状参数s、b时,可以得到每一个确定的ω所对应的ky值。隐式(27)和式(32)的求解可采用数学软件Matlab或一些高级计算机语言所附带的函数库,本文采用张善杰和金建铭[26]开发的特殊函数程序求解。为进一步比较奇偶模式海脊引导波,本文的海脊形状参数s和b与脊顶水深h0参考文献[24]。图2给出了抛物型海脊引导波奇偶对称模式的频散关系。两种情况下,波数ky均随ω的增大而增大,且随着模态增加,增加越慢。当角频率不变时,低模态的波数大于高模态的波数,而且同一个模态下,奇对称模式对应的波数大于偶对称模式对应的波数。
3.2 相位速度与能量传播速度
图3展示了不同模态海脊引导波相位速度、能量传播速度因子和能量传播速度随地形参数s和b以及角频率ω的变化情况。对于固定的s和b,相位速度c随ω的增大急剧下降,最终趋近于脊顶处的浅水波速度(gh0)1/2。而同一角频率下,模态越高、相位速度越大;相同模态时,偶对称引导波的相位速度大于奇对称引导波。引导波的相位速度随着海脊地形参数s和b而增大,模态越高,增率越大。相同模态时偶对称引导波的相位速度大于奇对称引导波。能量传播速度因子n随ω增大而增大,随s增大而减小,其值不受参数b变化影响,且n总小于1。对固定的s和b,能量传播速度随ω的增大急剧下降,随后趋于浅水波速度(gh0)1/2,并且随着模态的增加,下降趋势变缓。这与三角形海脊[18]上的能量传播速度变化规律一致,但与双曲余弦海脊[21]上的能量传播速度变化规律相反。这可能是由于引导波与海脊剖面形状密切相关。三角形海脊两侧的地形坡度是固定的,抛物型海脊两侧的地形坡度虽然随着水深的增加而增加,但其变化率远小于双曲余弦型海脊。给定b和ω时,能量传播速度随着s的增加而增大,低模态时能量传播速度增长趋势平缓,高模态时呈指数型快速增长。这与双曲余弦海脊[21]引导波的运动特征截然相反,其能量传播速度随着地形参数的增加而减小。对于另一地形参数b,能量传播速度随其近似线性增加。此外,对于相同模态的奇偶对称海脊引导波,偶对称引导波的相位速度、群速度均大于奇对称引导波。本文提出的抛物型海脊引导波理论所揭示的相位速度及能量传播速度与双曲余弦海脊引导波呈现出完全不同的运动特性,表明海脊引导波与其地形密切相关,只有选取了恰当地形的引导波理论才能合理解释实际越洋海啸在特定海脊上的引导现象。
3.3 空间能量分布
图4为偶对称和奇对称引导波在海脊横截面的空间分布。偶对称引导波波幅关于海脊中心线对称,各模态最大振幅均出现在脊顶处;奇对称引导波波幅关于海脊中心线反对称,脊顶处波幅始终为0,振幅在一侧达到最大值,在另一侧相同位置对应为最小值。引导波的模态与海脊两侧的波节点相对应。对于偶对称模式,0模态无波节点存在,1模态海脊两侧各有一个波节点,2模态海脊两侧各有两个波节点……;对于奇对称模式,1模态引导波在脊顶有一个波节点,2模态在脊顶和海脊两侧各有1个波节点……。无论是奇对称模式还是偶对称模式海脊引导波,低模态波动主要集中于脊顶附近,随着模态的增加,有更多的能量分布于海脊外侧。
图5为海脊引导波奇偶对称模式前四阶模态的三维空间波面分布。海脊引导波沿海脊方向呈周期性行进波,沿海脊横截面波幅逐渐减小。偶对称海脊引导波波面运动沿海脊中心线完全对称,而奇对称海脊引导波波面沿海脊中心线呈反对称过程,即一侧波面为正时,对应的另外一侧为相同幅值的负运动。对于较低模态的海脊引导波,能量主要集中于海脊顶端;对于高模态海脊引导波,波幅沿海脊截面缓慢减小,波能分布于更广的范围。
4. 结论
越洋海啸中最具威胁性和破坏性的波浪通常是由海底山脊引导而至的、速度较慢但能量巨大的波浪成分,它一般出现在由震源直接传播而至的先导波到达后的数小时,甚至更晚。这种由于海底山脊对波浪俘获效应而导致海啸波能量聚集并沿其传播的现象对海啸演化变形规律研究有着重要意义。本文基于线性长波理论推导了抛物型海脊上引导波的完整解析解。采用v阶Bessel函数表示引导波自由水面运动,并根据脊顶处连续条件分别给出了奇偶对称引导波的频散关系。结果表明,相位速度与能量传播速度随角频率增大而减小,随地形参数s和b增大而增大。海脊引导波沿海脊方向为行进波、沿截面方向为驻波。偶对称模式海脊引导波关于海脊中心对称、脊顶处自由水面沿海脊截面方向导数为0,而奇对称模式引导波关于海脊中心反对称、脊顶处自由水面恒为0。海脊引导波的模态与其波节点对应,低模态引导波能量主要集中于脊顶附近,模态越高、能量分布越广。由于实际海脊地形的复杂性,本文在现有三角型、指数型及双曲余弦型海脊理论的基础上进一步提出了抛物型海脊俘获波理论,为揭示地形坡度由脊顶至两侧逐渐增加的海脊引导波运动特征,预测实际越洋海啸中最具威胁性海啸波的到达时间及强度提供理论依据。此外,由于海底山脊是相对固定的,对于震源相近的海啸,其影响路径几乎是相同的,也即越洋海啸的传播是“有迹可循”的,因此研究对于海啸风险评估也具有重要意义。本文从运动学角度出发阐明抛物型海脊引导波运动特征,并未涉及其激发因素及对近岸灾害影响等动力特征,今后可基于数值模拟与物理模型试验开展相关深入研究。
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图 3 引导波的相位速度、能量传播速度因子与能量传播速度随角频率ω和地形参数s、b变化示意图
实线表示偶对称模式,虚线表示奇对称模式
Fig. 3 Phase velocity, energy velocity factor and group velocity against angular frequency ω, and ridge shape parameters s, b for guided waves
The solid lines indicate the even-symmetric mode and the dashed lines represent the odd-symmetric mode
图 4 抛物型海脊引导波沿x方向的空间分布
实线表示偶对称模式,虚线表示奇对称模式(s = 7.63×10−7 m−1,b = 1.62×104 m,h0 = 200 m,T = 180 s)
Fig. 4 Spatial distribution of guided waves over a parabolic ridge along the x-axis
The solid lines indicate the even-symmetric mode and the dashed lines represent the odd-symmetric mode (s = 7.63×10−7 m−1, b = 1.62×104 m, h0 = 200 m, T = 180 s)
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